La QUADRATURE du CERCLE 

Une Quadrature ... sans PI

La quadrature du cercle est un problème classique de géométrie faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube. Dans le plus ancien texte mathématique retrouvé, le papyrus Rhind (1650 av. J.-C.), le scribe Ahmès proposait déjà une solution approchée du problème. Le premier scientifique grec à s'intéresser à la question a été Anaxagore de Clazomènes. 

Le problème consiste à construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas. Il remonte à l'invention de la géométrie et a occupé de nombreux mathématiciens au cours des siècles. Grégoire de Saint-Vincent était passionné par le problème : il écrivit un ouvrage de 1 000 pages estimant - faussement - l'avoir résolu. C'est en 1837 que Pierre-Laurent Wantzel démontre un théorème qui permet d'exhiber la forme des équations des problèmes impossibles à résoudre à la règle et au compas. Mais il faudra attendre jusqu'en 1882 pour que le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre la transcendance de π pour appliquer le théorème de Wantzel au problème de la quadrature du cercle et ainsi démontrer qu'elle était impossible à réaliser. L'Académie des sciences, qui avait déjà pressenti ce résultat un siècle auparavant, n'acceptait plus de « preuve » de cette quadrature depuis 1775.Une solution de quadrature demande la construction de la racine carrée de π, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π : en effet seuls certains nombres algébriques (dont les rationnels et les irrationnels quadratiques) peuvent être construits à l'aide d'une règle et d'un compas.Ce problème est resté populaire et de nombreux quadrateurs amateurs envoient encore aujourd'hui de fausses preuves aux académies scientifiques....

PROPOSITION DE SOLUTION

Ma proposition ne reprend pas les "termes" exacts du problème initial.

Je propose une construction non pas "à la règle et au compas" mais une construction "physique" et, par ce biais, parvient à "contourner PI" pour ensuite trouver la solution...

Mais je vous laisse juge.

Une aiguille est fixée au centre d'un CERCLE ayant : 

- un rayon R

- une circonférence C

- une surface S

                           SITUATION (A)

On fait tourner cette aiguille sur 1 tour avec une accélération W = 1 (m/s²) pendant une durée égale à T.

Pendant ce même temps T, une point traçante dessine une ligne droite AB à une vitesse constante V.

                                             SITUATION (B) 


La traduction en physique mathématique de ces 2 situations simultanées sont :

De la situation (A), nous obtenons : 

C = ½ W T²  avec une vitesse initiale = 0 

soit : 

(1) T = (2C) / W

Comme W = 1 :

T = (2C)

et

(2) S = π R²   où S est la surface du cercle.

Remarque : le clavier ne me permettant pas d'écrire symboliquement "racine de 2C" avec la barre couvrant tous les termes, et afin qu'il n'y ait pas de confusions avec C2, j'ai préféré mettre des parenthèses. 

De la situation (B), nous obtenons :  

Appelons AB, le segment de droite défini par le trajet de la pointe traçante pendant le temps T.   

soit :

T = AB / V

Comme le temps T est le même dans les deux situations, on peut alors écrire :

(3)    (2C)   = AB / V

D'où

(4)   AB = V √(2C)

Construisons à présent un CARRE ayant pour côté AB et une surface S'.

On a alors :

(5)     S' = (AB)²

En utilisant l'égalité en (4) on obtient alors :

(6)     S' = (V √(2C) )²

Soit

(7)     S' = V² 2C

Or,

(8)    C = 2 π R

En remplaçant C par 2 π R dans l'équation (7), on obtient alors : 

(9)    S' = V² 4π R

Si l'on pose à présent que le cercle C possède la même surface que le carré, 

(10)   S = S'

Soit, d'après (2) et (9)

(11)    π R² = V² 4π R

En simplifiant par πR, nous obtenons par simplification des termes  π  et R :

(12)   R = 4 V²

ayant posé initialement :

W = 1 (m/s²)

Si le rayon du CERCLE est R = 1 (mètre), il en découle :

S = π (1)² soit

(13)    S = π

avec

C = 2 π R = 2 π

Et

D'après (7)

S' = 2 V²C

Soit

S' = 2 V² (2 π)

(14)   S' = 4 π V²

Puisque S = S', on a alors :

π = 4 π V²

soit

V²= 1/4 (m/s)

V = 1/2 (m/s)

Détermination des autres variables du problème :

AB = S' soit

AB = 4 π V²

AB = π

T = AB / V

T = π / ½

T = 2√ π (secondes)


CONCLUSION :

Ainsi, nous venons de construire par le "truchement" de la Physique un CARRE DE MEME SURFACE QU'UN CERCLE.

L'aiguille tourne avec une accélération de 1 m/s² autour d'un CERCLE dont le rayon est égal à 1 m. Cet unique tour lui prendra un Temps T.

Pendant ce MEME Temps T, la pointe traçante aura formé, à la vitesse constante V de 1/2 m/s, le côté d'un CARRE dont la surface sera EGALE à celle du CERCLE !

Le problème d'une "mise en pratique" de cette résolution théorique réside évidemment dans l'exacte "synchronisation" de ces deux processus. Peut-on déterminer avec certitude que l'aiguille commence sa course au même moment que la pointe traçante, avec une précision "infinitésimale" ?....

La difficulté réside donc davantage dans la parfaite "synchronisation" entre deux processus "réels" (difficulté existant dans de nombreux domaines, notamment en astronautique)

que dans la détermination effective du Temps réel mis pour établir cette Quadrature du Cercle....

Vous avez remarqué que T , la durée des 2 processus, était irrationnelle dans la résolution de notre Quadrature, puisque pour calculer T, il faut pourvoir calculer la racine carrée de π !

Mais prenons cet exemple "réel", pratiqué par nous tous au moins une fois dans notre enfance : lorsque vous faites tourner une fronde, en combien de temps croyez-vous que la pierre accrochée au bout de la ficelle fait son premier tour ?

Faites LE CALCUL, il est simple !

En reprenant les mêmes lettres pour désigner les paramètres on aura :

C = ½ W T² où C est une circonférence parcourue en un temps T, avec une accélération W.

On a : 

T = √ (2C) / W

Si l'on remplace la circonférence C par le rayon R de ce cercle :

T = √ (4πR) / W

T = 2 √(πR) / W

Cette durée de temps T apparaît comme une donnée elle-même irrationnelle puisqu'elle est composée de √π, valeur elle-même irrationnelle !....Et pourtant, dans les faits, nous parvenons à établir des valeurs de temps tout à fait finies pour les rotations d'une aiguille sur un cercle.

La Quadrature du Cercle dont je parle n'est donc pas tout à fait absurde. 

C'est notre système de mesure des phénomènes - discontinu par essence - qui nous fait apparaître parfois la Réalité comme irrationnelle.

En fait, la Réalité est continue et ne se mesure pas elle-même ...